La théorie des ensembles fut créée par Georg Cantor à la fin du xixe siècle. Cependant, le caractère extrêmement général et abstrait de la notion d'ensemble permit de produire des paradoxes rendant la théorie contradictoire (cf. théorie élémentaire des ensembles). Pour échapper à ces paradoxes et fournir un cadre abstrait adéquat au développement des mathématiques, le concept d'ensemble a dû être sérieusement codifié. Plusieurs théories formalisées des ensembles furent élaborées, en particulier : la théorie des types de Whitehead et Russell, la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, créée pour l'essentiel par Zermelo et enrichie par Fraenkel, et la théorie des classes de von Neumann, Bernays et Gödel. Malgré leurs différences, ces théories apparaissent avec le recul du temps comme diverses expressions d'une même réalité mathématique ; ainsi, la théorie de Bernays et Gödel envisage des objets de deux types distincts (ensembles et classes), alors que la théorie de Zermelo et Fraenkel ne connaît que les ensembles ; cependant, les énoncés relatifs aux ensembles seuls et démontrables par l'une ou l'autre théorie sont les mêmes. On va d'abord exposer ci-dessous la théorie de Zermelo-Fraenkel (désignée en abrégé par ZF) dont l'usage a fini par s'imposer aux spécialistes à la fois par son élégance conceptuelle et par son aptitude technique à élaborer en son sein la quasi-totalité des outils de la mathématique actuelle. Seront ensuite analysés les résultats d'indépendance : les travaux de Gödel puis ceux de Cohen, père du forcing, ont montré que le système de Zermelo-Fraenkel est insuffisant pour résoudre certains problèmes mathématiques, comme le célèbre problème du continu de Cantor. Ces résultats ont suscité un très important développement de la théorie axiomatique des ensembles dans les vingt dernières années, dont nous rendons compte plus loin, mais ils ont également remis en question l'objet de la théorie : deux voies s'ouvrent en effet. La première est celle d' […]
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