La théorie des ensembles fut créée par Georg Cantor à la fin du xixe siècle. Cependant, le caractère extrêmement général et abstrait de la notion d'ensemble permit de produire des paradoxes rendant la théorie contradictoire (cf. théorie élémentaire des ensembles). Pour échapper à ces paradoxes et fournir un cadre abstrait adéquat au développement des mathématiques, le concept d'ensemble a dû être sérieusement codifié. Plusieurs théories formalisées des ensembles furent élaborées, en particulier : la théorie des types de Whitehead et Russell, la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, créée pour l'essentiel par Zermelo et enrichie par Fraenkel, et la théorie des classes de von Neumann, Bernays et Gödel. Malgré leurs différences, ces théories apparaissent avec le recul du temps comme diverses expressions d'une même réalité mathématique ; ainsi, la théorie de Bernays et Gödel envisage des objets de deux types distincts (ensembles et classes), alors que la théorie de Zermelo et Fraenkel ne connaît que les ensembles ; cependant, les énoncés relatifs aux ensembles seuls et démontrables par l'une ou l'autre théorie sont les mêmes. […]
ENSEMBLES (THÉORIE DES) Théorie axiomatique
Autres références
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Auteur : E.U.
Toute pensée formalisée s'exprime de nos jours dans le langage de la théorie des ensembles, qui a ainsi envahi toutes les disciplines, sciences humaines comprises. Dès l'école primaire, l'enfant apprend à classer des objets suivant leur forme, leur couleur, leur taille, à établir entre eux des correspondances, préambules à des manipulatio… Lire la suite- ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire
Auteurs : André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY
L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations logiques de la pensée qui ont conduit à l'é… Lire la suite- CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
Auteur : Bernard PIRE
Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude d… Lire la suite- BADIOU ALAIN (1937- )
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Dans le chapitre "Le multiple pur" : … « inconsistant » du multiple pur, est le motif initial déployé par L'Être et l'événement. *En témoignent à leur manière les apories suscitées par l'idée d'un ensemble de tous les ensembles (paradoxe de Russell), ou encore le fait que l'ensemble des parties ou sous-ensembles d'un ensemble donné est toujours plus grand que lui (théorème de… Lire la suite- BERNSTEIN FELIX (1878-1956)
Auteur : Bernard PIRE
*Mathématicien allemand naturalisé américain, spécialiste de la théorie des ensembles puis des statistiques appliquées. Né le 24 février 1878 à Halle (Allemagne), Felix Bernstein est le fils d'un spécialiste de l'électrobiologie. Élève de Georg Cantor (1845-1918) à Halle, Bernstein démontre en 1897 son fameux théorème sur l'équivalence des ensembles… Lire la suite
Bibliographie
N. Bourbaki, « Théorie des ensembles », in Éléments d'histoire des mathématiques, Masson, 1984
Théorie des ensembles, ibid., 1982
P. J. Cohen, Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York, 1966
P. Dehornoy, « Progrès récents sur l'hypothèse du continu [d'après Woodin] », Séminaire Bourbaki, no 915, mars 2003
H. B. Emderton, Elements of Set Theory, Academic Press, San Diego, 1977
K. Gödel, Philosophy of Mathematics, Chicago, 1964
A. G. Hamilton, Numbers, sets and axioms, Cambridge Univ. Press, 1982
Philosophy of Mathematics, Chicago, 1964
R. B. Jensen & A. Prestel dir., Set Theory and Model Theory, congrès, Springer-Verlag, New York, 1981
J.-L. Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F., 2e éd. 1972
D. A. Martin & S. Shelah, Axiomatic Set Theory, American Mathematical Society, Providence (R.I.), 1989
J. Silver, « On the singular cardinals problem », in Proc. of the Intern. Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974, pp. 265-268
R. M. Solovay, « A Model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable », in Ann. of Math. vol. XCII, 1970, pp. 1-56.
Auteur de l'article
- Jacques STERN (professeur à l'École normale supérieure (informatique))
Sommaire
- Introduction
- Axiomes de ZF et procédés de formation d'ensembles
- Ordinaux et cardinaux. Axiome du choix
- Hiérarchie des ensembles et axiome de fondation
- Les limites de ZF
- Construction de modèles de ZF
- Les grands résultats d'indépendance
- La pratique mathématique dans les différents modèles de ZF
- Au-delà de ZF
- Bibliographie
Composition de l'article
- Nombre de pages : 18 pages
- Bibliographie : 13 références
