2. Les deux mémoires principaux
De son œuvre, développée et prolongée après sa mort précoce le 14 avril 1935 à Bryn Mawr (Pennsylvanie) par ses amis et ses élèves, citons deux travaux parmi les plus importants.
Le premier s'intitule Idealtheorie in Ringbereichen. Les notions de base sont celle d'anneau (groupe par rapport à une addition commutative, muni en outre d'une multiplication associative, distributive pour l'addition et, dans ce travail, commutative) et celle d'idéal : un sous-ensemble I de l'anneau A (commutatif) est un sous-groupe additif de A tel que le produit d'un élément quelconque de I par un élément quelconque de A soit un élément de I. Dans l'anneau Z des entiers de signe quelconque, l'ensemble des multiples d'un nombre donné m est un idéal, et il n'y a pas d'autres idéaux que ceux qui sont obtenus ainsi ; le problème est de trouver, sous la forme la plus universelle possible, un théorème qui généralise la décomposition unique de tout entier m (≠ 0, ≠ 1) en facteurs premiers.
Les travaux de Dedekind sur les nombres algébriques constituent un premier jalon. Un autre est donné par un théorème de Lasker sur les polynômes (à coefficients complexes) ; ce théorème constitue un très ingénieux rapprochement entre les idées de Dedekind et un résultat de Max Noether sur les polynômes de la forme Pf + Qg, où f et g sont deux polynômes donnés, P et Q deux polynômes arbitraires (l'ensemble de ces polynômes est un idéal). Un dernier jalon est un théorème de Hilbert sur le transport de la propriété : tout idéal admet un système générateur fini (« base finie »), dans le passage d'un anneau unitaire A à l'anneau A[X] des polynômes en X à coefficients dans A.
Emmy Noether énonce, sous le nom de Teilerkettensatz (condition de chaîne ascendante), un axiome équivalent à celui de la « base finie » : toute suite croissante d'idéaux I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ ... est stationnaire. Elle en déduit la représentation d'un idéal sous forme d'intersection d'idéaux irréductibles, puis, dans ce qui restera une […]
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