4. La méthode de Picard
On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équationsintégrales, chap. 2). Tout cela se tient : ainsi, pour appliquer la méthode à l'équation différentielle du premier ordre y′ = f (x, y), on remplace cette équation et la condition initiale y(a) = b par l'équation intégrale :
La méthode s'applique aussi à la recherche de fonctions implicites, à la résolution d'équations fonctionnelles, à l'inversion d'un élément voisin de l'unité dans une algèbre de Banach unitaire. Dans chaque problème, une hypothèse appropriée est nécessaire pour que la suite des approximations converge ; c'est pourquoi la méthode de Fredholm pour les équations intégrales (cf. équationsintégrales, chap. 3), celle d'Arzela pour les équations différentielles ont un champ d'application plus vaste. Cependant, lorsque l'hypothèse appropriée est satisfaite, elle permet souvent de montrer l'unicité de la solution du problème en même temps que son existence.
Parmi les nombreuses recherches de Picard sur les équations aux dérivées partielles, il faut encore signaler celles d'équations linéaires du second ordre, du type elliptique, dont les solutions ont les mêmes propriétés fondamentales que les fonctions harmoniques, solutions de l'équation de Laplace : analyticité, réponse unique au problème de Dirichlet, existence de solutions se comportant, au voisinage de l'origine, comme lg (x2 + y2), dans le cas de deux variables x, y. Les développements de ces recherches conduisirent d'une part à la théorie moderne du potentiel, d'autre part à l'étude générale des équations linéaires dont toutes les solutions sont analytiques, ou indéfiniment différentiables (cf. équations auxdérivées partielles, chap. 3).
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