3. Groupes discontinus
On sait que les substitutions modulaires :
où α, β, γ, δ sont des entiers réels et où αδ − βγ = 1, forment un groupe discontinu d'applications holomorphes du demi-plan :
sur lui-même. Dans le
groupe de Picard, opérant sur le plan lui-même, les entiers α, β, γ, δ sont complexes ; pour rendre ce groupe discontinu, une note au
Bulletin de la Société mathématique de France (S.M.F.), du 7 mars 1884, le prolonge, comme suit, du plan de la variable complexe
z ou plan de base, au demi-espace qu'il limite, rapporté à
z = ξ +
iη et à une cote > 0, autrement dit aux trois variables réelles ξ, η, ζ.
Comme une substitution S du groupe transforme une circonférence du plan de base en une autre, et deux circonférences orthogonales en deux autres circonférences orthogonales, elle transforme le réseau orthogonal à la circonférence imaginaire, section par le plan de base de la sphère-point (ξ, η, ζ), en le réseau orthogonal à une autre circonférence imaginaire, section par le plan de base d'une autre sphère-point (ξ′, η′, ζ′) ; alors, la formule :
définit le prolongement ûS de S au demi-espace.
Ce groupe de Picard est lié à la réduction modulaire des formes hermitiennes :
x et
y étant des variables complexes,
a et
c des constantes réelles,
b une constante complexe ; si cette forme est définie,
h(
z, 1) = 0 est l'équation dans le plan de base d'une circonférence imaginaire, section d'une sphère-point (ξ, η, ζ) ; ce point, dit représentatif de la forme
h, n'est invariant que par un nombre fini de sub […]
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