2. Équations fonctionnelles
Picard s'intéressa à maintes généralisations des fonctions elliptiques ou doublement périodiques. Dans ce domaine, son nom est attaché à l'équation fonctionnelle :
D'autre part, Riemann avait affirmé, sans preuve suffisante, que : Si une fonction f méromorphe sur Cn a 2 n périodes linéairement indépendantes sur R, ou bien ces périodes sont liées par certaines relations, ou bien f peut s'exprimer en fonction de moins de n variables. Dans une note aux C.R.A.S. du 3 décembre 1883, Picard et Poincaré démontrèrent ce théorème fondamental, puis, reprenant seul la question pour n = 2, Picard remarqua, dans une note du 18 mars 1889, que : Si l'on autorise f à avoir des singularités essentielles, alors les quatre périodes peuvent être choisies arbitrairement.
Les fonctions méromorphes quadruplement périodiques de deux variables, généralisant directement les fonctions elliptiques, permettent de représenter paramétriquement certaines surfaces algébriques, qui firent l'objet d'importants travaux sous le nom de surfaces hyperelliptiques.
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