4. Le philosophe
Borel a consacré une cinquantaine d'articles à la philosophie et à l'histoire des sciences, à la psychologie, à la pédagogie et à l'économie politique. Fervent défenseur de la conception intuitionniste des mathématiques, il a toujours insisté sur la nécessité de ne jamais perdre de vue le « réel » : pour lui, « les mathématiques ne sont pas un jeu purement abstrait de l'esprit, mais sont, au contraire, en étroite connexion avec la réalité concrète ». Il tenait à rappeler, dans les raisonnements les plus abstraits de l'analyse, comment ces raisonnements expriment des réalités, et par suite nous aident à comprendre la réalité physique. C'est pourquoi Borel a toujours préféré aux définitions descriptives les définitions constructives ; ces dernières sont indispensables pour passer de la théorie aux applications et permettent auparavant de s'assurer de l'existence et éventuellement de l'unicité de l'élément dont on parle. Borel s'est toute sa vie préoccupé des problèmes relatifs à l'existence des êtres mathématiques soumis au raisonnement ; c'est ainsi qu'il a beaucoup insisté sur les notions d'éléments « calculables » et d'éléments « effectivement définis », i.e. définis au moyen d'un nombre fini de mots. Cette attitude l'amena d'ailleurs à ne pas reconnaître la validité des préoccupations de certains mathématiciens. Le texte suivant, par son excès même, montrera combien fut parfois grande la méfiance de Borel vis-à-vis de notions qui nous sont pourtant bien familières : « Il existe certainement (si ce n'est point un abus d'employer ici le verbe exister) dans le continu géométrique des éléments qui ne peuvent être définis : tel est le sens réel de l'importante et célèbre proposition de Cantor : « Le continu n'est pas dénombrable . » Le jour où ces éléments indéfinissables seraient réellement mis à part et où l'on ne prétendrait point les faire intervenir plus ou moins implicitement, il en résulterait certainement une grande simplification dans les méthodes de l'analyse. » Ainsi, pour Borel, « la notion du continu considéré comme ayant une puissance supérieure à celle du dénombrable est une notion purement négative, la puissance des ensembles dénombrables étant la seule qui nous soit connue de manière positive, la seule qui intervienne effectivement dans nos raisonnements »...
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