2. L'œuvre scientifique
• Théorie des fonctions
Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si un est le terme général d'une série numérique, posons sn = u0 + ... + un ; soit de plus
Théorie des ensembles et mesure des ensembles. Le premier, Borel définit les ensembles de nombres réels « de mesure nulle », comme pouvant être, quel que soit ε> 0, recouvert par une famille dénombrable de segments dont la somme des longueurs est inférieure à ε. Il construisit la classe d'ensembles, appelés de nos jours boréliens, qu'on peut définir à partir des ensembles ouverts en itérant indéf […]
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