2. Travaux divers et enseignement
Disons quelques mots des autres travaux algébriques d'Artin. Dans un mémoire de 1928, il étend certains résultats de la théorie des algèbres aux anneaux commutatifs dans lesquels il n'existe pas de chaîne infinie décroissante d'idéaux à gauche ; ces anneaux sont appelés artiniens. Il appartenait aussi à Artin, en collaboration avec O. Schreier, de montrer l'importance des corps ordonnés. Pour résoudre par l'affirmative le problème XVII de Hilbert (qui demandait s'il est toujours possible d'écrire une fraction rationnelle F(x1, ..., xn), à coefficients rationnels, qui ne prend de valeur négative pour aucune valeur réelle des variables, comme somme de carrés de fonctions rationnelles à coefficients rationnels), Artin et Schreier ont élaboré, dans une suite de mémoires publiés de 1924 à 1927, la théorie des corps réels, qui sont les corps dans lesquels − 1 ne peut pas s'écrire comme somme de carrés. Ces auteurs ont montré que, si un tel corps réel n'admet pas d'extension algébrique stricte qui possède cette propriété, il peut être muni d'une manière et d'une seule d'une structure d'ordre compatible avec sa structure de corps ; dans un tel corps, les théorèmes usuels de l'algèbre (réelle) sont applicables.
Ce sont là les travaux d'algèbre d'Artin, mais il a abordé des domaines variés des mathématiques ; par exemple, dans une série de mémoires échelonnés de 1925 à 1950, il n'a cessé de s'intéresser à la théorie des nattes, chapitre de la topologie où interviennent de nombreux résultats de la théorie des groupes.
Artin a exposé sous une forme souvent nouvelle ou définitive dans ses cours et dans ses livres de nombreuses questions d'arithmétique ou d'algèbre. Typique de l'originalité de son enseignement est son exposé de la théorie de Galois : si un corps K est une extension d'un corps k, Artin considère K comme un espace vectoriel sur k et déduit toute la théorie des extensions de cette situation d'algèbre linéaire. Son livre Algèbre géométrique
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 2 pages…
