3. Relations entre les contraintes et les déformations
• Forces internes et déformations
Les forces intérieures dans un solide sont des actions s'exerçant de proche en proche ; autrement dit, une molécule du corps n'exerce d'actions que sur les molécules immédiatement voisines. Il en résulte que les déformations en un point d'un corps dépendent de l'état de contrainte en ce point et en ce point seulement ; il existe donc a priori une relation entre le tenseur des contraintes en un point et le tenseur des déformations en ce même point ; et cela en chaque point du solide.
Or, la translation et la rotation pure n'introduisent pas de contraintes dans le solide ; il s'ensuit que le tenseur {R} ne doit pas intervenir dans cette relation qui doit donc lier le tenseur des contraintes {C} au tenseur de déformation pure {F} seul.
Pour un corps élastique, il y a donc en un point une relation entre les σij et les εij, c'est-à-dire que la connaissance des six premières entraîne celle des six autres, et réciproquement ; il existe donc six relations de la forme σij = fij (εkl) où fij est la fonction particulière reliant εkl à σij. Les déformations étant par hypothèse infiniment petites, chacune de ces fonctions fij peut être remplacée par son développement limité au premier ordre ; on a ainsi un système de six relations de la forme :
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