7. Intégrales premières des équations de la mécanique
Les équations de la mécanique déduites du principe fondamental forment un système de n équations différentielles du second ordre (que l'on peut toujours ramener à un système de 2 n équations différentielles du premier ordre) dont l'intégration dépend de 2 n constantes qui, dans un problème de mécanique, sont les conditions initiales, c'est-à-dire la donnée des qi(t0) et des q′i(t0) à un instant t0 pris comme instant initial.
On appelle intégrale première toute fonction f (qi, q′i, t ) qui reste constante au cours du mouvement en vertu des équations déduites du principe fondamental exprimé sous l'une des formes suivantes : théorèmes généraux, théorème de l'énergie-puissance et équations de Lagrange. Donnons quelques exemples d'obtention d'intégrales premières.Théorème de la somme géométrique.
Si u⃗ désigne le vecteur unitaire d'un axe fixe dans le galiléen et si J⃗g(G) ( u⃗ = 0, on a : v⃗g(G) ( u⃗ = constante (intégrale première).
Ce résultat n'est plus valable si u⃗ n'est pas fixe dans (g) (alors dgu⃗/dt ≠ 0).
Si J⃗g(G) = 0⃗, alors v⃗g(G) = C⃗, vecteur constant, ce qui fournit trois intégrales premières scalaires.
• Théorème du moment dynamique
Si u⃗ ( MI {AgΣ} = 0 et si, de plus, I est un point fixe dans le galiléen (ou le centre d'inertie de Σ), u⃗ désignant le vecteur unitaire d'un axe fixe dans le galiléen, alors on peut écrire l'intégrale première u⃗ ( MI {pgΣ
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