3. La croissance exponentielle et le paradigme de la régulation dépendante de la densité
Le modèle démographique le plus simple considère une population théorique N dans laquelle entre deux dates, t et t + 1, chaque individu donne en moyenne naissance à F individus et meurt avec une probabilité M. L'environnement est donc considéré comme constant. Entre t et t + 1, il entre donc en moyenne dans la population FN(t) individus et il en meurt en moyenne MN(t). Le bilan des entrées et des sorties N(t + 1) = N(t) + F N(t) – MN(t) conduit donc à : N(t + 1) = (1 + F – M) N(t) = AN(t). Si les naissances l'emportent sur les décès (F > M), la population augmente. La même formule s'applique au pas de temps suivant, mais à partir de N(t + 1), et l'excédent précédant de croissance est donc capitalisé, comme dans un placement financier à intérêts composés : la croissance est exponentielle, avec un taux de multiplication A = 1 + F – M, selon N(t) = N(0) At. Le pas de temps dans une telle représentation est souvent annuel, et A est alors le taux de multiplication annuel de la population ainsi modélisée.
Si les décès l'emportent sur les naissances (M > F), A est inférieur à 1 et l'effectif de la population modélisée décroît exponentiellement.
Des résultats analogues s'obtiennent en passant à une échelle de temps continue : on écrit alors le nombre de naissances dans l'intervalle de temps infinitésimal entre t et t + dt, FN(t) sous la forme f dt N(t) où f est un taux instantané de fécondité. De même on écrit MN(t) = m dt N(t) où m est un taux instantané de mortalité. On obtient alors l'équation dN/dt = (f – m) N, dont la solution est l'équation de croissance ou décroissance exponentiell […]
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