Accueil - Boutique - Contact - Assistance
Zone de recherche

Altas Auteurs Recherche thématique Dictionnaire
 

DIVISIBILITÉ

Page précédente Page suivante

5.  Divisibilité dans les corps quadratiques

On ne donnera ici qu'un aperçu de la théorie de la divisibilité dans les corps quadratiques. Si l'on considère les nombres de la forme :

où d est entier non carré parfait, et u, v, w entiers relatifs (avec w ≥ 1), on définit un corps, appelé corps quadratique Q (√d). Dans ce corps, on appelle entiers les éléments qui vérifient une équation du type α2 + a1α + a2 = 0, a1 et a2 étant des entiers ; et on démontre que ces entiers sont donnés par les formules :

Ces entiers forment un sous-anneau de Q (√d), et on peut définir dans cet anneau la divisibilité, compliquée par le fait qu'il existe d'autres unités que + 1 ou − 1. Une unité quadratique est en effet racine d'une équation (cf. équations diophantiennes) :

Il y a une infinité d'unités dans Q (√d) pour d ≥ 2 et, pour d ≤ − 1, il n'y en a pas d'autre possible que 1, − 1 ; i, − i et les racines troisièmes de l'unité j, j2, − j et − j2. Une unité divise tout entier ; on définira donc les nombres premiers comme étant ceux qui ne sont divisibles que par eux ou par les unités du corps. De même, a et b seront dits premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les unités ; on  […]

… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 5 pages… Offre essai 7 jours

Thématique

Classification thématique de cet article :

Retour en haut

Autres références

« DIVISIBILITÉ » est également traité dans :

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Espèces de structures plus riches que celle d'annoïde"  : …  l'élément neutre de la loi l⊥, et a et b deux éléments de E. *On dit que b divise a, ou que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b, s'il existe dans A au moins un élément q tel que a = b… Lire la suite
ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Notions fondamentales"  : …  *La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux d'intégrité. Nous allons, dans ce… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Les « nombres idéaux » de Kummer"  : …  théorème de Fermat ; cf. divisibilité). On voit comme ci-dessus que les entiers rationnels *divisibles par h(α) sont les multiples de q ; pour continuer le raisonnement et montrer que h(α) est premier, on va prouver qu'il existe un entier rationnel u tel que α ≡ u (mod h(α)), et on lui… Lire la suite
ORDONNÉS ENSEMBLES

Écrit par :  André WARUSFEL

Dans le chapitre "Quelques ordres sur N*"  : …  obtenir ainsi. Après la relation ≤ usuelle, la relation d'ordre la plus courante est la relation de *divisibilité : si p divise q, c'est-à-dire si q est multiple de p : cela signifie qu'il existe un entier m ∈ N* tel que q = mp. Sur la figure, on a représenté le diagramme… Lire la suite

Retour en haut

Voir aussi

Retour en haut

Accueil - Contact - À propos
Consulter les articles d'Encyclopædia Universalis : 0-9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Consulter les articles d'Encyclopædia Britannica.
© 2012, Encyclopædia Universalis France S.A. Tous droits de propriété industrielle et intellectuelle réservés.

chargement du média