4. Résidus quadratiques
• Résidus et non-résidus
Un nombre a premier à m est dit résidu quadratique de m, si x2 ≡ a (mod m) a des solutions entières en x ; sinon a est dit non-résidu quadratique (avec toujours la condition a premier à m). Dans le cas où m = p premier, il est facile de voir qu'il existe, modulo p, (p − 1)/2 résidus quadratiques et (p − 1)/2 non-résidus ; en effet, 12, 22, ..., (p − 1)2 donnent, modulo p, (p − 1)/2 classes résiduelles différentes ; car (p − q)2 ≡ q2 et a2 − b2 = (a − b) (a + b) ≡ 0 (mod p) si a et b sont au plus égaux à (p − 1)/2. Par exemple, pour p = 11, on a les résidus quadratiques 1, 3, 4, 5 et 9. On peut établir aisément, pour m quelconque, que le produit de deux résidus quadratiques de m est un résidu ; car x2 ≡ a et y2 ≡ b entraîne (xy)2 ≡ ab (mod m). Dans le cas où m = p premier, le produit d'un résidu par un non-résidu est un non-résidu et le produit de deux non-résidus est un résidu ; il suffit pour cela d'envisager a, 2 a, 3 a, ..., (p − 1)a, qui sont non congrus modulo p, donc forment un système complet (mod p). Il y a donc (p − 1)/2 résidus et (p − 1)/2 non-résidus, quel que soit a premier à p, et, si a est résidu, les (p − 1)/2 résidus proviennent du produit par a des résidus quadratiques de p, donc les (p − 1)/2 non-résidus correspondent aux produits de a par les non-résidus de p. Si a est non-résidu, les (p − 1)/2 non-résidus proviennent donc du produit de a par les résidus quadratiques de p, donc les (p − 1)/2 résidus corresponde […]
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