2. Définition des distributions
Il est clair que, pour généraliser la notion de fonction, il faut abandonner certaines propriétés usuelles des fonctions (par exemple le fait qu'une fonction prend une valeur déterminée en chaque point) pour ne conserver que certaines propriétés. L. Schwartz utilise comme notion essentielle la propriété d'opérer linéairement sur des classes de fonctions très régulières.
• Méthode générale de construction
La méthode générale pour définir un espace de fonctions généralisées sur un ouvert Ω de Rn est la suivante. On prend tout d'abord un e.v.s. T de fonctions « suffisamment régulières » dans Ω ; par définition, l'espace des fonctions généralisées sur Ω est alors l'espace T′ des formes linéaires séquentiellement continues sur T. Pour justifier la terminologie de « fonctions généralisées », il faut identifier les fonctions « régulières » sur Ω à des éléments de T′ ; pour cela, on identifie une telle fonction f à la forme linéaire sur T :
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