Les équations aux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s'agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été motivées par des questions de physique. Il s'agit aussi, et surtout, du fait que les idées apportées par la physique, et notamment la mécanique, transposées ensuite dans un cadre plus général, ont fourni les outils les plus puissants de leur étude. On en trouvera plusieurs exemples dans les articles qui suivent.
Cette étude a eu, à son tour, une influence fondamentale sur le développement général de l'analyse mathématique au xviiie siècle. Le cas le plus célèbre est la question de savoir si toute fonction est développable en série trigonométrique, posée d'abord par les travaux de d'Alembert et Daniel Bernoulli sur l'équation des cordes vibrantes, puis par ceux de Fourier sur l'équation de la chaleur. On peut citer aussi la théorie du potentiel, née de l'étude de la gravitation et du potentiel électrique, et devenue un domaine à part entière de l'analyse mathématique. Les méthodes par dualité, que George Green appliquait déjà aux équations aux dérivées partielles dans la décennie des années 1830, ont joué un rôle essentiel ; elles ont été reprises par Henri Poincaré, puis par Jacques Hadamard. Ce point de vue des solutions faibles des équations aux dérivées partielles à été systématiquement utilisé par l'école russe (Izraïl Gelfand, Sergueï Sobolev) et a amené Laurent Schwartz à l'élaboration de la théorie des distributions (cf.distributions) qui constitue de nos jours le cadre naturel de la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires.
La théorie des distributions s'impose aussi pour les problèmes non linéaires, car les données non linéaires génèrent, même à partir de données régulières, des solutions singulières (interprétables dans le langage des distributions). Ces idées apparaissent déjà chez Riemann (1860).
L'interaction entre le développement de la phys […]
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