2. Le type elliptique
• L'équation de Laplace, ou de Poisson
Si dans l'équation des ondes on s'intéresse à des solutions stationnaires (c'est-à-dire indépendantes du temps), on tombe sur l'équation de Poisson :
Cette équation a des propriétés tout à fait analogues à celle de Laplace.
On retrouve l'équation de Laplace (à deux variables indépendantes) comme conséquence des conditions de Cauchy-Riemann. Elle est donc vérifiée par la partie réelle et la partie imaginaire pure de toute fonction analytique d'une variable complexe. Ce fait a été la source de certains problèmes de la théorie des équations aux dérivées partielles (quelles sont les propriétés des fonctions analytiques qui peuvent être généralisées ici ?). Il a aussi été la source de certaines applications dont la plus célèbre est la méthode de Joukovski (à une certaine approximation, le calcul d'un écoulement incompressible autour d'une aile se ramène à un problème de représentation conforme).
Les problèmes bien posés pour l'équation de Laplace concernent en général les solutions sur un ouvert borné Ω de Rn dont nous noterons Γ la frontière. Les deux plus usuels sont :
– Le problème de Dirichlet : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la restriction à Γ est donnée. »
– Le problème de Neumann : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la dérivée normale sur Γ est donnée. »
À vrai dire, ce dernier n'est pas tout à fait bien posé. D'abord […]
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