3. Analyse numérique des problèmes hyperboliques
On a vu que les problèmes hyperboliques possèdent les propriétés suivantes :a) vitesse finie de propagation ;b) propagation des singularités dans le cas linéaire ;c) apparition, dans le cas non linéaire, de singularités, interaction entre deux singularités, propagation dans les intervalles entre ces événements.
Les méthodes numériques relatives à ces problèmes doivent prendre en compte ces propriétés. Le fait, en particulier, que la solution se propage a conduit à privilégier les méthodes de différences finies par rapport aux méthodes d'éléments finis, car on suit plus facilement l'évolution de la solution en parcourant, selon sa propagation, les points du maillage. Il n'existe encore aucun résultat systématique à plus d'une dimension d'espace ; on se limitera donc à des problèmes de la forme :
Dans (11) et (12), u est un vecteur ; dans (11), A est une matrice à valeurs propres réelles et distinctes. Le système (12) est un système hyperbolique (cf. chap. 1 in équations aux dérivées partielles - Équations aux dérivées partielles non linéaires).
Désignons par h et τ deux paramètres destinés à tendre vers zéro, et soit uni, i ∈ Z et n ∈ N une approximation de la solution au point (ih, nτ). On remplace la dérivée par rapport au temps par l'expression :
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