HILBERT DAVID (1862-1943)

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Autres références

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HILBERT PROBLÈMES DE

Écrit par :  Bernard PIRE

C'est au deuxième Congrès international des mathématiciens réuni à Paris en 1900 que David Hilbert (1862-1943), professeur de mathématiques à l'université de Göttingen, expose « les problèmes des mathématiques ». En faisant la liste de vingt-trois problèmes à résoudre au cours du xx^e siècle, Hilbert affirme son optimisme et sa… Lire la suite

ACKERMANN WILHELM (1896-1962)

Écrit par :  Bernard PIRE

… hui en Allemagne), Wilhelm Ackermann fait ses études supérieures à l'université de Göttingen. *Dans sa thèse, accomplie sous la direction de David Hilbert (1862-1943), il démontre en 1924 la cohérence de l'arithmétique sans avoir recours à l'induction. Ce travail est la première contribution majeure au second problème de Hilbert, c'est-à-dire… Lire la suite

ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Axiomatisation de l'algèbre linéaire"  : …  de recherches sur les équations différentielles et surtout les équations aux dérivées partielles, *Hilbert introduit, à l'aube du xx^e siècle, le célèbre espace de Schmidt et utilise systématiquement des techniques linéaires pour étudier les opérateurs dans cet espace et c'est Toeplitz, élève de Hilbert, qui donne la définition… Lire la suite

ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Anneaux noethériens"  : …  anneaux de polynômes à plusieurs variables. À propos de recherches sur la théorie des invariants, *Hilbert mit en évidence le fait que tout idéal d'un tel anneau est engendré par un nombre fini d'éléments et montra tout le parti que l'on pouvait tirer de cette propriété ; par là même, il dégageait l'importance des anneaux avec conditions de… Lire la suite

ARTIN EMIL (1898-1962)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Corps de nombres algébriques et théorie du corps de classe"  : …  le groupe de Galois de l'extension K/k est abélien, a été pour la première fois abordé par *Hilbert ; Artin a fait considérablement progresser cette théorie. Un de ses résultats les plus importants dans ce domaine est une loi générale de réciprocité qui redonne, comme cas très particulier, la loi de réciprocité quadratique de Gauss et… Lire la suite

AXIOMATIQUE

Écrit par :  Georges GLAESER

Dans le chapitre "Origines de l'axiomatique mathématique"  : …  sont des théorèmes de l'axiomatique de Peano et se démontrent à partir des axiomes. Le premier, D. *Hilbert est parvenu à formuler un exposé axiomatique de la géométrie élémentaire, dans son ouvrage Grundlagen der Geometrie (1899). Il énonce une trentaine d'axiomes qui précisent le mode d'emploi des mots « point », « plan », « droite », « … Lire la suite

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Écrit par :  Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID,  Universalis

Dans le chapitre "Courbes de genre zéro"  : …  courbe de genre zéro peut, par un changement de variables, être ramenée à une conique plane (D. *Hilbert-A. Hurwitz, 1891), soit ax² + by² + c = 0. D'après le théorème de Legendre (cf. supra), les conditions de congruence permettent de décider si cette conique a un point rationnel. S'il y… Lire la suite

FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS

… *Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925. Le principe fondamental du finitisme consiste à mettre en avant un domaine d'énoncés et de méthodes – … Lire la suite

FORMALISME

Écrit par :  Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY

Dans le chapitre "Méthode axiomatique et formalisme"  : …  considéré comme le sens. De la même façon, dans les Grundlagen der Geometrie (1899), D. *Hilbert montrait que le « sens » des propositions géométriques n'est aucunement lié aux représentations intuitives de l'espace, mais dépend seulement de la cohérence du système d'axiomes initial. Les notions primitives (point, droite, plan) à partir… Lire la suite

FREDHOLM IVAR (1866-1927)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique… Lire la suite

GÉOMÉTRIE

Écrit par :  François RUSSO

Dans le chapitre "La géométrie classique"  : …  directions différentes. C'est seulement à la fin du xix^e siècle, surtout avec *David Hilbert (1862-1943), dans Principes fondamentaux de la géométrie (Grundlagen der Geometrie, 1899) que la géométrie euclidienne est fondée de façon satisfaisante par une démarche dégagée de toute intuition sensible, et Hilbert démontre… Lire la suite

GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par :  Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : …  du calcul des prédicats. Dans leur Grundzüge der Theoretischen Logik, paru en 1928, *Hilbert et Ackermann, poursuivant le « programme » de formalisation des mathématiques, posent la question suivante : étant donné un système formel défini par un langage, des axiomes, des règles de déduction et une notion d'interprétation dans… Lire la suite

HURWITZ ADOLF (1859-1919)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les mémoires de Hurwitz à des… Lire la suite

INFINI, mathématiques

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "La puissance d'un ensemble"  : …  y retenir ? Trente ans après les mémoires cantoriens de 1895-1897, en 1925, dans un texte célèbre, *David Hilbert devait faire le point des problèmes ainsi posés et proposer les méthodes constructives (substitution, récursion) propres à permettre, par la mise en œuvre de moyens métamathématiques finitistes, la constitution de la « portion » du… Lire la suite

LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Daniel ANDLER, Roger MARTIN

…  ? L'étude de ce problème est l'un des objets de la théorie de la démonstration fondée par *David Hilbert et développée par son école. Un théorème fondamental et riche de conséquences, dû à Kurt Gödel, a fixé définitivement, en 1931, la limite des résultats qu'on peut espérer obtenir en ces matières et a, par là même, profondément modifié l… Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'axiomatisation de la géométrie"  : …  intérieure à la théorie des ensembles. L'exemple des Grundlagen der Geometrie, publiés par *David Hilbert en 1899, fut, sur ce point, décisif. En reconstruisant l'édifice euclidien sur des bases axiomatiques saines, Hilbert avait proposé l'exemple d'un système théorique qui ne devait rien à l'intuition. Les notions qui figurent au point de… Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Corps de classes"  : …  ces énoncés au cas où Q est remplacé par un corps de nombres algébriques k. *Hilbert a abordé la théorie du corps de classes d'un autre point de vue, à partir de la théorie des formes quadratiques, et il est parvenu à construire certains corps de classes, correspondant au groupe de classes d'idéaux A/H+, où A est… Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre "La logique"  : …  de Boole et d'autres, tandis que pour la disjonction ils introduisirent le symbole ∨. *Hilbert et son école choisirent le signe & pour la conjonction ; pour la disjonction, ils employaient un ∨ qui pouvait être omis. Sous l'influence des signes ensemblistes ∪ et ∩, les signes logiques ∨ et ∧ pour la disjonction et la conjonction sont… Lire la suite

OBJET

Écrit par :  Gilles Gaston GRANGER

Dans le chapitre "Réalisme et nominalisme"  : …  séparée de celle des êtres périssables mais existants desquels la pensée les abstrait. Pour *Hilbert, chez les Modernes, les objets mathématiques ont assurément une réalité propre, autre que celle des symboles où ils s'expriment ; mais le grand mathématicien a cependant cru possible d'en établir les propriétés logiques, en tant qu'ils… Lire la suite

QUANTIFICATION, linguistique

Écrit par :  Jean-Pierre DESCLES

… *La quantification est une série d'opérations de détermination qui sont constitutives de la bonne formation de l'énoncé. Le terme de quantification, en tant qu'opérations, a été introduit par C. S. Peirce et par G. Frege pour analyser des particules grammaticales comme « quelques », « certains », « chaque », « tous les », « aucun »... Ils ont retenu… Lire la suite

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