COURBURE, mathématiques

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  BIG BANG

Écrit par : Marc LACHIÈZE-REY

Dans le chapitre "Questions en suspens"  : … alors légitime de parler de la géométrie de l'espace. Celle-ci se caractérise par une* courbure (spatiale) C (et une topologie particulière : cf. L'Univers chiffonné). La détermination de la courbure de l'espace constitue la seconde tâche des cosmologistes. D'après des observations récentes très précises du fond… Lire la suite

2.  CONIQUES

Écrit par :  Universalis, André WARUSFEL

Dans le chapitre "Propriétés différentielles et intégrales"  : … passant par le sommet, et un triangle dont le centre de gravité appartient à l'axe. Le centre de *courbure C en M, point où la normale en M est tangente à son enveloppe, se projette en P sur MF de façon que FM = FP = FN (N étant l'intersection de la normale et de l'axe) ; CM = R est le rayon de courbure, lié à MF par l'égalité pR²… Lire la suite

3.  COSMOLOGIE

Écrit par : Marc LACHIÈZE-REY

Dans le chapitre "La métrique de Robertson-Walker"  : … (1 — kr²)^1/2 au dénominateur exprime l'existence d'une possible *courbure : le facteur de courbure k indique, selon sa valeur (0, 1 ou — 1), si l'espace est plat (euclidien), à courbure positive ou à courbure négative. La « courbure riemannienne » varie au cours de l'évolution cosmique et vaut k… Lire la suite

4.  ESPACE, mathématique

Écrit par : Jean-Marc SCHLENKER

Dans le chapitre "Le paradigme riemannien"  : … coordonnées n'est pas réservée au plan euclidien, mais s'applique aussi aux surfaces dans l'espace. *Gauss découvre que les propriétés métriques locales de ces surfaces sont déterminées par un nombre défini en chaque point, la courbure. Une surface peut être appliquée sur un plan, sans changer la longueur des courbes qui y sont tracées, si et… Lire la suite

5.  GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

Écrit par : Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "La notion d'espace"  : … en général cette différence, pour un triangle géodésique infiniment petit, par la *courbure totale de la surface. De ce résultat central découlait aussitôt le fait que la courbure totale ne dépend que du ds² de la surface (fait que Gauss démontre par un calcul direct) ; en outre, dans des notes non… Lire la suite

6.  GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Écrit par : Paulette LIBERMANN

Dans le chapitre "Trièdre de Frénet"  : … a les formules : les fonctions 1/R(s) et 1/T(s) s'appellent respectivement la *courbure et la torsion de la trajectoire. Au voisinage d'un point régulier, les projections de la trajectoire sur les trois plans définis par t, n, b présentent l'aspect indiqué par la figure. On démontre que… Lire la suite

7.  GROMOV MIKHAËL (1943- )

Écrit par : Antoine CHAMBERT-LOIR

…  Friedrich Gauss (1777-1855) dans les années 1820, peut entreprendre de déterminer précisément. On* voit alors apparaître une « géométrie locale », voire « infinitésimale », matérialisée par exemple dans la notion fondamentale de courbure. D'après un théorème fondamental de Gauss justement, c'est la courbure qui gouverne la somme des… Lire la suite

8.  INTERACTIONS (physique) - Interaction gravitationnelle

Écrit par : Alain KARASIEWICZ, Marie-Antoinette TONNELAT

Dans le chapitre " La gravitation relativiste"  : … générale est de considérer les phénomènes gravitationnels comme une simple conséquence du fait que* l'espace-temps possède une courbure. Le concept de courbure est issu de la théorie mathématique des espaces de Riemann. On se représente bien la courbure d'une surface sphérique parce qu'elle peut être observée de l'extérieur mais, quand tout l'… Lire la suite

9.  RADON JOHANN (1887-1956)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier. Né à Tetschen (Bohême), Johann Radon fit ses études à l'université de Vienne (1905-1910), puis fut nommé… Lire la suite

10.  RELATIVITÉ - Relativité générale

Écrit par : Thibault DAMOUR, Stanley DESER

Dans le chapitre " La généralisation relativiste"  : …  : = R^αμαν et R : = g^μνRμν sont des contractions du *tenseur de courbure : (g^μν est le tenseur inverse de gμν ; Τμν = gμρ gνσTρσ ; on rappelle que le tenseur de courbure est nul si et seulement si l'espace-… Lire la suite

11.  VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Écrit par : Claude MORLET

Dans le chapitre "Courbure"  : … *Considérons une variété V munie d'une connexion ∇ et une courbe γ tracée sur V ; si m est un point de γ et si l'on transporte le long de γ un vecteur t tangent à V en m, après un tour complet on obtient un vecteur ϕ(t ) tangent à V en m. On définit ainsi une application linéaire ϕ de T(V)m… Lire la suite