5. Étude locale d'un point singulier
Un point d'une courbe algébrique étant pris comme origine des coordonnées dans un modèle affine, l'étude du voisinage de O a été poursuivie par deux méthodes. Celle de Noether consiste à effectuer des transformations birationnelles ayant O pour point d'indétermination : elle relève des techniques de la géométrie algébrique. Celle de Enriques consiste à utiliser les développements de Puiseux : elle relève de l'analyse classique des fonctions d'une variable complexe.
La courbe (irréductible) F(x, y) = 0, qui passe en O, définit y comme fonction algébrique de la variable complexe x, multiforme, dont certaines déterminations s'annulent pour x = 0.
On appelle branche algébroïde de la courbe F un ensemble de ces déterminations qui subit une permutation circulaire lorsque la variable complexe x décrit, dans le plan complexe, un petit cercle autour de l'origine. Si k est le nombre de déterminations constituant une branche, en faisant le changement de variable x = tk, chacune de ces déterminations devient une fonction entière de t : y = f (t), et on passe de l'une à la suivante en changeant t en ζt, le coefficient ζ étant une racine primitive k-ième de l'unité.
Les propriétés arithmétiques des exposants qui figurent dans la série entière f (t) ont été interprétées topologiquement (variété analytique complexe) et dans la géométrie infinitésimale de la courbe au voisinage de l'origine.
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