4. Intersection de courbes algébriques
L'étude de l'intersection de deux courbes algébriques F et G de degrés respectifs m et n, qui n'ont aucune composante commune, a été faite par Bezout : il y a un nombre fini de points communs, et chacun est affecté d'un entier naturel, sa multiplicité (d'intersection) ; dénombrés avec cet élément de pondération, il y a mn points communs (sur le corps complexe). Ce théorème, tiré d'une étude attentive du résultant, n'a pas été apprécié à sa juste valeur par les non-spécialistes : faute d'avoir une définition explicite de la multiplicité d'intersection, ils voyaient dans le théorème de Bezout une espèce d'affirmation alchimique. On s'est borné à utiliser le théorème de Bezout dans certains cas simples : lorsque tous les points communs à F et G sont simples sur chacune d'elles, avec des tangentes distinctes, il y a exactement mn points communs. C'est ainsi que la courbe formée de m droites parallèles à Oy et la courbe formée de n droites parallèles à Ox se coupent aux mn sommets d'un quadrillage.
Un autre cas assez simple est celui où un point commun étant multiple d'ordre r pour F et d'ordre s pour G, il n'y a aucune droite commune aux deux faisceaux de tangentes en ce point : la multiplicité d'intersection est alors rs (et elle est supérieure dans le cas contraire).
La situation n'est devenue claire que lorsque G. Halphen eut montré comment, par une étude locale des courbes F et G en un point commun, on pouvait définir la multiplicité d'intersection.
Considérons par exemple les deux cubiques :
Elles ont en commun trois points simples, avec la multiplicité 1, dont les coordonnées satisfont à : x3 = 1, y = 1, et le point O qui est pour chacune d'elles un point double (r = s = 2) avec une seule tangente Ox. Ce point a la multiplicité d'intersection 6.
On le vérifie en portant x = t2, y = t3, représentation paramétrique de F, dans G :
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