3. Quelques exemples
La courbe dont l'équation affine est :
c'est-à-dire dont l'équation projective, en coordonnées homogènes, est :
est appelée
cubique nodale.
Elle admet l'origine (x = 0, y = 0, z = 1) comme point double (de multiplicité 2) ; les deux tangentes en ce point sont les droites y = ± x. Le point (x = 0, y = 1, z = 0) est un point simple, pour lequel la tangente z = 0 coupe la courbe avec la multiplicité 3 : on l'appelle un point d'inflexion. Les cubiques nodales sont toutes projectivement identiques. On rencontre le modèle métrique :
qui a quelques propriétés liées à la géométrie du cercle et qu'on appelle la
strophoïde. On rencontre également le modèle métrique :
appelé
cubique de Tschirnhausen, pour lequel la longueur de l'arc est fonction rationnelle des coordonnées.
La courbe dont l'équation affine est :
est appelée
cubique cuspidale. Elle admet l'origine (
x = 0,
y = 0,
z = 1) comme point double (de multiplicité 2) ; il y a en ce point une tangente unique
y = 0. Les cubiques cuspidales sont toutes projectivement identiques. On rencontre le modèle métrique :
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