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COURBES ALGÉBRIQUES

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2.  Tangentes

•  Intersection avec une droite

Considérons une droite projective joignant les point A(x1, y1, z1) et B(x2, y2, z2) et son intersection avec la courbe F(x, y, z) = 0. On obtient :

Si tous les coefficients sont nuls, cette équation est une identité : tout point de la droite appartient à la courbe qui admet la droite comme composante irréductible.

Toute droite qui n'est pas composante de la courbe la coupe en n points (n étant le degré de F) compte tenu de leur ordre de multiplicité, et cet énoncé a exactement la même signification que l'affirmation : une équation algébrique de degré n admet n racines.

Supposons maintenant que A est un point de la courbe F(A) = 0, et faisons varier B arbitrairement ; si le polynôme :

n'est pas nul quel que soit M, toute droite passant par A coupe la courbe en ce point avec la multiplicité 1, à l'exception de la droite :
qui coupe la courbe en A avec une multiplicité au moins égale à 2. Le point A est alors appelé un point simple de la courbe, et la sécante exceptionnelle est appelée la tangente en A (en accord avec les formules différentielles de la géométrie analytique).

Lorsque :

sont nuls quel que soit M, sans qu'il en soit ainsi de Pk, toute droite passant par A coupe la courbe en ce point avec la multiplicité k, à l'exception des droites qui vérifient P

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BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

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… *Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre n équations à n inconnues par élimination, en… Lire la suite
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CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

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COURBES TRANSFORMATIONS DE

Écrit par :  Robert FERRÉOL

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Dans le chapitre "Les courbes algébriques planes"  : …  montrait que les mêmes principes peuvent aussi servir à fonder, de façon purement algébrique,* la théorie des courbes algébriques planes qui, jusqu'alors, paraissaient du ressort de la géométrie et de l'analyse. Ce qui doit ici remplacer l'anneau des entiers rationnels Z, c'est l'anneau C[x] des polynômes en une variable, à… Lire la suite
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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MACLAURIN COLIN (1698-1746)

Écrit par :  Universalis

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MAUPERTUIS PIERRE LOUIS MOREAU DE (1698-1759)

Écrit par :  Jean-Robert ARMOGATHE

… *Mathématicien français. Né à Saint-Malo, d'origine bourgeoise, Maupertuis suit à Paris les cours de mathématiques de Le Blond et de Guisnée ; très vite, il fait partie du cercle de La Motte-Houdard, ce qui lui permet d'être reçu, à vingt-cinq ans, adjoint géomètre à l'Académie des sciences. Ses voyages en Angleterre et à Bâle lui font connaître les… Lire la suite
NEWTON ISAAC (1642-1727)

Écrit par :  Michel PATY

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Écrit par :  Jeanne PEIFFER

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Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

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QUADRIQUES

Écrit par :  André WARUSFEL

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STEINER JAKOB (1796-1863)

Écrit par :  Universalis

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STIRLING JAMES (1692-1770)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de… Lire la suite
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Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

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