3. Corps non commutatifs
On a examiné jusqu'à présent des corps qui étaient commutatifs, mais l'étude des corps non commutatifs n'est pas d'un moindre intérêt.
Si K est un corps non commutatif, l'ensemble Z des éléments de K qui permutent avec tout élément x, c'est-à-dire tels que xz = zx, est visiblement un corps commutatif que l'on appelle le centre de K. Nous avons déjà signalé l'exemple des quaternions H dont le centre n'est autre que le corps R des nombres réels. Voici un autre exemple dû à Hilbert :
Soit Fq un corps fini à q = pr éléments (r ≥ 2), si on munit l'ensemble des séries formelles ΣanTn sur Fq de l'addition habituelle et d'une multiplication déduite par distributivité et associativité de la règle élémentaire Ta = apT, on obtient un corps non commutatif F′q((T)). Il est facile de voir que le centre de ce corps est formé des séries formelles constantes a0 où a0 ∈ Fp et qu'il est donc isomorphe à Fp. Les séries formelles à coefficients dans Fp forment un sous-corps commutatif de F′q((T)).
On peut développer au sujet des corps non commutatifs des considérations tout à fait analogues à celles qui ont été faites dans le cas des corps commutatifs. En particulier, on sait définir la caractéristique d'un corps non commutatif, et cette caractéristique n'est autre que celle du centre. De même, si L est un corps non commutatif et K un sous-corps de L, la notion d'adjonction à K d'un sous-ensemble S de L garde tout son sens. Il est à remarquer que si K est commutatif et x un élément de L qui permute avec tout élément de K, le sous-corps K(x) de L obtenu par adjonction de x à K est encore commutatif, ce qui permet de démontrer l'existence de sous-corps commutatifs maximaux dans L (c'est-à-dire de sous-corps commutatifs qui ne sont contenus strictement dans aucun autre sous-corps commutatif). L'étude […]
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