2. Théorie élémentaire des corps commutatifs
• Adjonction, extensions simples
Soit L un corps et K un sous-corps de L. Pour tout sous-ensemble S de L, l'intersection des sous-corps de L qui contiennent K et S est un sous-corps de L, que l'on appelle le sous-corps obtenu par adjonction de S à K, et que l'on note K(S). Si K(S) = L, on dit que S est un système de générateurs de L sur K. Un cas particulier important est celui où S est réduit à un seul élément x : l'extension obtenue est notée K(x), et on dit que c'est une extension simple de K. En effet, toute extension L d'un corps K peut être obtenue par adjonctions « répétées » d'un élément (lorsque L possède un système S fini ou dénombrable de générateurs, l'expression « répétées » a le sens classique ; pour la définir dans le cas général, il faut faire une récurrence transfinie après avoir muni S d'un bon ordre, ce qu'autorise l'axiome de Zermelo).
Soit L une extension simple d'un corps K, et soit x un générateur, c'est-à-dire que L = K(x). On peut faire un raisonnement tout à fait parallèle à celui qui a été fait à propos de la caractéristique. En effet, deux cas se présentent :
– Les monômes xn sont linéairement indépendants sur K, c'est-à-dire qu'une relation telle que :
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