La convexité, étude des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unifie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques : théorie des nombres, problèmes combinatoires, analyse fonctionnelle et applications (théorie des graphes, théorie des jeux...).
La convexité se retrouve dans des contextes très divers ; mais le cas fondamental, le seul qui sera considéré ici, est celui des espaces vectoriels sur le corps R des nombres réels.
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