3. Cas général
Dans ce chapitre, E désigne l'espace Rn ou, plus généralement, un espace vectoriel topologique séparé localement convexe sur R ; dans ce dernier cas, le dual topologique E* de E sera muni de la topologie faible τs(E) donnée par E et E sera muni de la topologie faible τs(E*) donnée par E*.
Il ne faudrait pas croire que l'on peut, comme dans le cas des fonctions convexes de R dans R, conclure à la continuité des fonctions convexes de E dans R− ; on dispose, en fait, du résultat suivant :Soit f une fonction convexe prenant une valeur finie en un point x de E ; s'il existe un voisinage de x sur lequel f est majorée par une constante finie, elle est continue au point x.
Ce résultat permet, dans le cas particulier où E = Rn, d'établir que :Toute fonction convexe propre sur Rn est continue sur l'intérieur de son domaine effectif ; en particulier, si f est à valeurs dans R, alors dom ( f ) = Rn et f est continue sur Rn.
Rappelons qu'une fonction f de E dans R− est dite semi-continue inférieurement si, pour tout réel a, l'ensemble des éléments x de E tels que f (x) ≤ a est fermé ; il est équivalent de dire que l'épigraphe de f est fermé, ou encore que f est enveloppe supérieure d'une famille de fonctions continues, c'est-à-dire que :
L'importance des hyperplans d'appui dans l'étude des ensembles convexes nous amène à introduire pour une fonction convexe f de E dans R− la famille Af des fonctions affines continues qui minorent f. Si on note Γ(E) l'ensemble des fonctions h de E dans R− qui sont enveloppe supérieure d'une famille de fonctions affines continues, le théorème de séparation (cf. […]
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