2. Cas de la dimension 1
L'exemple des fonctions convexes définies sur R est instructif pour l'étude ultérieure des fonctions convexes définies sur Rn, ou même sur des espaces vectoriels topologiques. En outre, ce cas a un intérêt propre pour la définition d'une classe intéressante d'espaces : les espaces d'Orlicz. Dans tout ce chapitre 2, f est une fonction convexe propre définie sur R.
Supposons que x1, x2, x3 soient dans dom (f ) et vérifient x1 ≤ x2 ≤ x3 ; en remarquant que :
L'utilisation des inégalités (3) permet de montrer que, en tout point intérieur à dom f, la fonction f admet une dérivée à droite f d′(x) et une dérivée à gauche f g′(x) et qu'on a, en outre, f g′(x) ≤ f d′(x). De plus, f ′d(x) est croissante et continue à droite sur l'intérieur de dom f. Si x0 est un point intérieur à dom f tel que f (x0) = 0, pour tout x intérieur à dom f, on peut écrire :
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