4. Aspects qualitatifs
Contrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie.
La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limitera ici à de rapides indications, en renvoyant pour les définitions à l'article espaces vectoriels normés .
• Espaces normés
On soulignera seulement le rôle de la convexité. Rappelons qu'une norme sur un espace vectoriel E (qui sera ici réel) est une fonction p à valeurs positives définie dans E telle que :
a) p(x) = 0 si et seulement si x = 0 ;
b) p(λx) = |λ| p(x) pour x ∈ E et λ ∈ R ;
c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (sous-additivité).
Une norme est souvent notée ∥.∥.
L'étude des espaces vectoriels normés est, d'une certaine façon, l'équivalent de l'étude d'une classe d'ensembles convexes ; le lien est établi par la fonction de jauge. Si ∥.∥ est une norme sur E, on appelle boule unité (resp. sphère unité) pour cette norme l'ensemble des x ∈ E tels que ∥x∥ ≤ (resp. ∥x∥ = 1). Les propriétés de la norme entraînent que la boule unité U est un ensemble convexe dont l'intersection avec toute droite passant par O est un segment symétrique [− x, x] (non réduit au point O). Réciproquement, soit U un ensemble convexe satisfaisant à ces propriétés ; pour tout x ≠ 0, désignons par p(x) le plus petit entier positif λ tel que x/λ ∈ U et posons p(0) = 0 (la fonction p est appelée la jauge de l'ensemble U). On vérifie facilement que la jauge de U est une norme sur E pour laquelle U est la boule unité (en fait, la jauge d'un ensemble peut se définir sous des hypothèses beaucoup plus générales). Ainsi toutes les pr […]
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