CONVERGENCE, mathématiques

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  ANNEAUX & ALGÈBRES

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Anneaux de séries"  : … corps des nombres réels ou des nombres complexes. La série (*) est dite *convergente si elle a un rayon de convergence non nul, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel strictement positif R tel que la famille de nombres positifs : soit sommable (cela signifie qu'il existe un nombre M qui majore toute somme finie de… Lire la suite

2.  DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Écrit par : Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU,  Universalis

Dans le chapitre "Intégration numérique des équations différentielles"  : … . Le procédé Ph est dit convergent si : Notons que cette notion de *convergence est peu habituelle ; car la solution de P est une fonction x ↦ y(x), alors que la solution Yn de Pn est une suite finie de n + 1 nombres réels. Ainsi, y … Lire la suite

3.  DISTRIBUTIONS, mathématiques

Écrit par : Paul KRÉE

Dans le chapitre "Espaces avec notion de suite convergente"  : … des distributions peuvent s'exprimer élémentairement en utilisant seulement la notion de suite *convergente, sans qu'il soit nécessaire de préciser complètement la topologie des espaces considérés. On se propose ici de montrer comment on peut définir a priori et de manière purement formelle une telle notion sur un espace vectoriel. Les espaces… Lire la suite

4.  FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Convergence"  : … *Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière : de centre O. Théorème 1. Soit R (éventuellement égal à 0 ou à + ∞) défini par la formule d'Hadamard : alors, pour… Lire la suite

5.  FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Écrit par : Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Convergences usuelles en analyse"  : … *Pour traiter des problèmes de représentation et d'approximation des fonctions, il est indispensable de préciser ce que l'on entend par l'écart de deux fonctions. Dans les cas les plus simples, on peut définir cet écart à l'aide d'une norme sur l'espace vectoriel E de fonctions considéré (cf. espaces vectoriels normés… Lire la suite

6.  HARMONIQUE ANALYSE

Écrit par : René SPECTOR

Dans le chapitre "Questions de convergence"  : … la représentation d'une fonction périodique par une série trigonométrique se ramène à l'étude de la *convergence de sa série de Fourier. Nous nous contenterons de donner ici quelques-uns des nombreux résultats obtenus dans ce domaine. a) D'abord, en dehors de toute notion de convergence, la série de Fourier d'une fonction caractérise celle-… Lire la suite

7.  LÉVY PAUL (1886-1971)

Écrit par : Jacques MEYER

… *Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1964. De 1905 à 1951, il publia dix ouvrages… Lire la suite

8.  MÉTRIQUES ESPACES

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Le langage des suites"  : … ensemble A est donc fermé si et seulement s'il contient les limites de toutes ses suites qui sont *convergentes dans E ; ainsi, on peut définir les fermés, et par complémentarité les ouverts, à partir de la notion de suite convergente. De même, on montre qu'on peut caractériser la continuité d'une application f en termes de suites : … Lire la suite

9.  NOMBRES COMPLEXES

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Limites"  : … suite (zn) de nombres complexes tend vers une limite u, ou *converge vers u, pour n tendant vers l'infini, si pour tout nombre ε strictement positif, on a : pour n assez grand, c'est-à-dire sauf pour au plus un nombre fini d'entiers n. On écrit alors : La limite si elle… Lire la suite

10.  OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout… Lire la suite

11.  PROBABILITÉS CALCUL DES

Écrit par : Daniel DUGUÉ

Dans le chapitre "Inégalités et équivalences"  : … intérieur. On a alors : cette inégalité a permis d'établir un théorème important, dont il sera question au chapitre 8, sur la *convergence des séries aléatoires. Signalons enfin une inégalité portant sur les fonctions caractéristiques : cette inégalité est utilisée au chapitre 8 pour établir le théorème sur la limite de fonctions caractéristiques… Lire la suite

12.  SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Écrit par : Lucien CHAMBADAL

Dans le chapitre "Séries"  : … n), suite des sommes partielles de la série A. On dit que la série A est *convergente ou divergente suivant que la suite (sn) converge ou non. Lorsque la série A est convergente, la limite s de (sn) s'appelle somme de A et se note… Lire la suite

13.  SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Écrit par : Jean-Pierre KAHANE

Dans le chapitre "Aperçu historique"  : … est l'admirable mémoire de 1829 où P. G. Lejeune-Dirichlet donne le premier théorème de *convergence de séries de Fourier. Après avoir établi, pour une fonction f monotone et continue entre 0 et h, la formule : Dirichlet montre que, pour toute fonction f monotone et continue par morceaux sur le tore T… Lire la suite