3. La conjecture
• Énoncé
Il existe plusieurs formulations équivalentes de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, insistant soit sur l'aspect géométrique, soit sur l'aspect analytique. Nous privilégions ici une formulation explicite plutôt analytique, pouvant par exemple se tester sur ordinateur.
Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ. Rappelons que l'on a associé à E un entier NE, son conducteur, et une fonction LE de la variable complexe s telle que
Une courbe E étant donnée, un ordinateur peut calculer facilement NE et les premiers coefficients an de LE(s) à partir de l'équation de E. Comme S(2, NE) est de dimension finie, l'ordinateur peut alors aisément vérifier que la fonction fE est bien dans S(2, NE). Bien entendu, cela ne constitue aucunement une preuve puisqu'il y a une infinité de courbes elliptiques !
Exemple. La courbe elliptique d'équationY2 – X3 + 33.24X – 33.24.19 = 0(minimale en dehors de 2 et 3) donne la forme modulaire η(z)2η(11z)2 de l'exemple 2 ci-dessus.
Il faut comprendre que ce théorème est véritablement « miraculeux », car il n'y a a priori aucune raison pour que la fonction fE vérifi […]
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