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SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

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2.  Formes modulaires

•  Définition

Soit H l'ensemble des nombres complexes z de partie imaginaire strictement positive. On appelle H (qui est donc inclus dans ℂ) le demi-plan de Poincaré. Le groupe SL2(ℤ) des matrices

avec a, b, c et d dans ℤ et ad – bc = 1 opère à gauche sur H par la formule
.Pour N ∈ ℕ – {0}, notons Γ0(N) le sous-groupe de SL2(ℤ) des matrices
telles que N divise c. Il opère également sur H via l'action de SL2(ℤ). Notons que Γ0(1) = SL2(ℤ).

Les formes modulaires sont certaines fonctions holomorphes sur H vérifiant une équation fonctionnelle liée au choix d'un groupe Γ0(N). Leur définition, donnée ci-dessous en poids 2, est peu éclairante quant à leur formidable richesse.

On appelle forme modulaire de poids 2 et niveau N une fonction analytique (ou holomorphe) f de H dans ℂ vérifiant les deux propriétés suivantes : (7) 

 ;(8) f est holomorphe aux pointes.

Expliquons la propriété (8). En appliquant (7) à

,on obtient f ( + 1) = f (z). Comme f est holomorphe et périodique de période 1, la théorie des séries de Fourier n […]

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