« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Taylor [1999] ; et Breuil, Conrad, Diamond et Taylor [2001] ; voir aussi Kisin [2004]), mais elle s'appuie sur les travaux antérieurs de nombreux mathématiciens. Ce résultat exprime un lien très profond, conjecturé pendant presque quarante-cinq ans, entre deux objets mathématiques : d'une part les courbes elliptiques sur ℚ et d'autre part les formes modulaires de poids 2. Les premières sont de nature arithmético-géométrique et les secondes de nature arithmético-analytique. Dans cet article, nous introduisons les courbes elliptiques, puis les formes modulaires. Nous formulons ensuite précisément la « conjecture ». Enfin, nous présentons un bref historique et donnons une petite idée de la preuve.
La géométrie arithmétique moder […]
Autres références
« SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE » est également traité dans :
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FERMAT PIERRE DE (1601-1665)
Auteurs :
E.U., Catherine GOLDSTEIN, Jean ITARD
Dans le chapitre "L'approche de Wiles" : …
, b, c ne sont pas nuls, contredirait une conjecture centrale des mathématiques, *la conjecture de Taniyama-Weil. Autrement dit, si la conjecture de Taniyama-Weil était vraie, la courbe (*) ne pouvait exister, donc il ne pouvait y avoir de solutions non nulles à l'équation de Fermat. Cette relation contribua à renforcer la…
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SERRE JEAN-PIERRE (1926- )
Auteur :
Antoine CHAMBERT-LOIR
le xixe siècle, on trouve les courbes elliptiques et les formes modulaires. *Ce sont au départ des objets de nature analytique, mais au xxe siècle leur arithmétique a pris de plus en plus d'importance et une conjecture est née, qui porte les noms des mathématiciens Goro Shimura, Yukata Taniyama et André…
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Bibliographie
C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond & R. Taylor, « On the modularity of elliptic curves over : wild 3-adic exercices », in Journal of the American Mathematical Society, vol. 14, no 4, p. 843, 2001
B. Conrad, F. Diamond & R. Taylor, « Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations », in ibid., vol. 12, no 2, p. 521, 1999
H. Darmon, « A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced », in Notices of the American Mathematical Society, vol. 46, no 11, p. 1397, 1999
F. Diamond, « On deformation rings and Hecke rings », in Annals of Mathematics, vol. 144, no 2, p. 137, 1996
B. Edixhoven, « Rational elliptic curves are modular (after Breuil, Conrad, Diamond, Taylor) », Séminaire Bourbaki no 871, in Astérisque 276, p. 161, 2002
G. Faltings, « The Proof of Fermat's last theorem by R. Taylor and A. Wiles », in Notices of the American Mathematical Society, vol. 42, no 7, p. 743, 1995
C. Goldstein, « Le Théorème de Fermat enfin démontré », in La Recherche, hors-série no 2, p. 21, 1999
M. Kisin, « Moduli of finite flat group schemes, and modularity », http ://www.columbia.edu/~fes2008/bt.pdf, prépublication 2004
J. Oesterlé, « Travaux de Wiles (et Taylor...) II », Séminaire Bourbaki no 804, in Astérisque, vol. 237, p. 333, 1996
J.-P. Serre, « Travaux de Wiles (et Taylor...) I », Séminaire Bourbaki no 803, in ibid., p. 319, 1996
R. Taylor & A. Wiles, « Ring theoretic properties of certain Hecke algebras », in Annals of Mathematics, vol. 141, no 2, p. 553, 1995
A. Wiles, « Modular elliptic curves and Fermat's last theorem », in ibid., p. 443, 1995.
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