« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Taylor [1999] ; et Breuil, Conrad, Diamond et Taylor [2001] ; voir aussi Kisin [2004]), mais elle s'appuie sur les travaux antérieurs de nombreux mathématiciens. Ce résultat exprime un lien très profond, conjecturé pendant presque quarante-cinq ans, entre deux objets mathématiques : d'une part les courbes elliptiques sur ℚ et d'autre part les formes modulaires de poids 2. Les premières sont de nature arithmético-géométrique et les secondes de nature arithmético-analytique. Dans cet article, nous introduisons les courbes elliptiques, puis les formes modulaires. Nous formulons ensuite précisément la « conjecture ». Enfin, nous présentons un bref historique et donnons une petite idée de la preuve.
1. Courbes elliptiques
• Définition
La géométrie arithmétique moderne puise en partie sa source dans l'étude des équations polynômiales :(1) P(X, Y) = 0,où
On peut ainsi s'intéresser aux solutions (X, Y) de (1) dans n'importe quel corps contenant ℚ, par exemple le corps ℂ des nombres complexes, ou bien celui ℝ des réels, ou encore ℚ lui-même. On peut essayer de décrire les propriétés géométriques de la courbe formée par les solutions dans ℂ ou ℝ (singularités, composantes connexes, etc.) et, ce qui est beaucoup plus difficile en général, les propriétés arithmétiques des solutions dans ℚ (nombre de ces solutions, taille, etc.). Une telle étude géométrique et arithmétique des droites et des coniques est bien com […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 6 pages…
