Comment empiler, de la façon la plus dense possible, des sphères de même rayon dans l'espace ? Cette question est apparue il y a près de quatre siècles, à la suite de travaux de Thomas Harriot – l'assistant mathématicien de Walter Raleigh – concernant les empilements de boulets de canon. Dans un livret publié en 1611, Johannes Kepler énonce que l'empilement de sphères le plus dense possible dans l'espace est l'empilement cubique à face centré, c'est-à-dire celui qui correspond aux empilements de fruits que l'on peut apercevoir communément sur les étals des marchés.
Cet énoncé, maintenant appelé conjecture de Kepler, a traversé les siècles sans connaître de preuve rigoureuse. Il figure parmi la liste des problèmes que David Hilbert proposa à la communauté des mathématiciens au congrès international des mathématiciens de 1900. En fait, à partir de l'empilement cubique à face centré, il est possible de construire une infinité d'autres empilements de sphères ayant la même densité, égale à π/√18 ≈ 0,7404 804 9. Le problème est donc de démontrer que tout empilement de sphères a une densité inférieure ou égale à ce nombre. En 1947, la meilleure borne connue était d […]
