4. Propriétés particulières
• L'ellipse
Une construction très simple permet d'obtenir autant de points de l'ellipse que l'on en désire. Donnons-nous deux droites perpendiculaires Ox et Oy, et un segment constant PQ dont les extrémités décrivent respectivement Ox et Oy. Un point M situé entre P et Q tel que MQ = a et MP = b décrit une ellipse de centre O, d'axe focal Ox. La tangente en M est perpendiculaire à IM, où I est le quatrième sommet d'un rectangle OPIQ. Deux positions perpendiculaires de PQ (appelé « bande de papier » dans la littérature) correspondent à deux extrémités de diamètres conjugués. I décrit le cercle de centre O et de rayon (a + b) ; le symétrique J de I par rapport à M est lui aussi sur la normale en M ; il décrit le cercle de centre O et de rayon (a − b), et Ox est bissectrice intérieure de l'angle IOJ ; IJFF′ sont sur un même cercle, et forment la figure connue sous le nom de quadrangle harmonique, inverse d'une division .
La projection considérée, que l'on peut relier à l'affinité d'axe AA′ et de rapport b/a, qui transforme le cercle de diamètre AA′ en l'ellipse, est à l'origine d'une représentation paramétrique particulièrement simple de celle-ci. Le transformé du point du cercle définissant, avec Ox, un angle t est en effet le point de l'ellipse de coordonnées x = a cos t, y = b sin t ; t est l'anomalie excentrique de ce point. Deux extrémités de diamètres conjugués, dont les pentes dans ce système d'axes ont pour produit b2/a2, ont des anomalies excentriques différentes d'un angle droit. L'équation de l'ellipse en découle ; on pourrait aussi la déduire des formules d'Euler, valables également pour une hyperbole :
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