2. La parabole
• Définitions
La parabole est la plus simple des trois coniques traditionnelles (cercle mis à part, naturellement : on ne le considérera ici que comme un cas particulier d'ellipse). La notion de parabole est affine, non métrique ; c'est-à-dire qu'il suffit de choisir, parmi les droites d'un plan projectif, une tangente à une conique pour en faire la droite de l'infini : la conique en question devient alors une parabole. Par contre, les concepts d'axe, de sommet, de foyer surtout, étant métriques, nous donnerons de la parabole des définitions équivalentes plus élémentaires que celle qui la décrit comme une « conique tangente à la droite de l'infini », utilisant les longueurs (ou, ce qui est équivalent, la notion de cercle).
Étant donné une droite D, appelée directrice, et un point F (le foyer) non situé sur elle, la parabole est :
– l'ensemble des points M qui sont centre d'un cercle passant par F et tangent à la droite D (définition 1) ;
– l'ensemble des points M tels que la distance MF soit égale à la distance MH de M à la droite D (définition 2).
La perpendiculaire à D issue de F est l'axe de la parabole. Si elle coupe la directrice en un point K, la distance FK = p est le paramètre de la parabole. Le sommet S, situé sur la courbe, est le milieu de KF ; la médiatrice de KF est d'ailleurs la tangente au sommet. Toute la courbe est connexe, convexe et symétrique par rapport à l'axe.
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