2. La théorie arithmétique des formes quadratiques
Hermite commence à étendre aux formes positives non dégénérées à un nombre quelconque n de variables (« formes définies positives » dans la terminologie classique) l'idée de « réduction » que Gauss avait introduite pour les formes à deux et à trois variables. Par un raisonnement de récurrence élémentaire, il arrive à montrer qu'une telle forme, de discriminant D, prend, pour au moins un système de valeurs entières (non toutes nulles) des variables, une valeur au plus égale à :
où ρ
n est une constante ne dépendant que de
n, et pour laquelle Hermite obtient la majoration :
améliorée plus tard par H. Minkowski. Cela lui permet déjà, pour des
formes quadratiques positives à
coefficients entiers, de montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes de formes équivalentes de discriminant donné (deux formes étant équivalentes si elles se déduisent l'une de l'autre par une transformation linéaire inversible à coefficients
entiers). Mais la grande originalité d'Hermite est d'avoir utilisé sa majoration (
*) (et la majoration analogue pour ce qu'on appelle maintenant les « formes hermitiennes » positives non dégénérées, qu'il introduisit le premier dans la science) pour obtenir toute une série de résultats arithmétiques nouveaux. Par exemple, en associant à un nombre réel quelconque A la forme quadratique positive :
où Δ est un nombre positif quelconque, l'application de (
*) donne le résultat qu'il existe toujours deux entiers
m,
n pour lesquels :
résultat plus précis que ce […]
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