3. Où trouver la sensibilité aux conditions initiales ?
La propriété de sensibilité aux conditions initiales (S.C.I.) avait déjà été pressentie vers 1875 par James Clerk Maxwell, puis par Henri Poincaré. Ensuite, le météorologiste, Edward Lorenz, étudiant les solutions d'un ensemble de trois équations différentielles ordinaires, qui représentaient un modèle très simplifié des écoulements dans l'atmosphère, remarqua que, en partant de conditions initiales légèrement différentes (et pour certaines valeurs des constantes, voir les équations ci-dessous), il obtenait des solutions tout à fait dissemblables au bout d'un même temps d'évolution. Et, pourtant, quoi de plus déterministe que ces équations :
Les raisons de ce comportement, à première vue incompréhensible, ont été analysées et expliquées pour la première fois par David Ruelle et Floris Takens ; en effet, ils ont montré en 1971 que la dépendance S.C.I., donc un comportement chaotique, pouvait apparaître dans un système dynamique ayant au minimum trois fréquences indépendantes (ce qui revenait à dire trois variables ou trois degrés de liberté), et dont les non-linéarités sont suffisantes.
De fait, le nombre minimal de degrés de liberté nécessaires pour que le chaos puisse apparaître peut être déduit de considérations topologiques se rapportant aux trajectoires dynamiques dans l'espace des phases (ou espace dont les coordonnées sont les variables dynamiques indépendantes du système). La trajectoire dans cet espace est le lieu des points correspondant aux valeurs prises par les variables à chaque instant. Ainsi l'espace des phases relatif au mouvement du pendule est un plan dont les coordonnées (variables) sont la position et la vitesse et dans lequel la trajectoire dynamique est une boucle fermée.
La propriété de S.C.I. se traduit par la divergence d […]
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