4. Catégories abéliennes
Soit C une catégorie ; un objet O de C est nul s'il est à la fois initial et final. Si C a un objet nul, pour tout couple (A, B) d'objets Hom(A, B) a une flèche nulle, notée OAB ou O, qui est la composée des flèches A → O et O → B. Le noyau Ker(f ) d'une flèche f : A → B est le noyau du couple (f, O), le conoyau de (f, O) est appelé conoyau de f et noté Coker(f ).
Les axiomes suivants pour qu'une catégorie soit abélienne sont dus à Freyd :
(A.0) C a un objet nul ;
(A.1) tout couple d'objets a une somme et un produit ;
(A.2) toute flèche a un noyau et un conoyau ;
(A.3) tout monomorphisme est un noyau et tout épimorphisme un conoyau.
On montre alors que pour tout couple (A, B) d'objets, Hom(A, B) a une structure canonique de groupe abélien et que les applications de
Un foncteur F d'une catégorie abélienne C dans une catégorie abélienne C′ est exact à gauche, s'il transforme tout noyau en un noyau. Il en résulte qu'il est additif, c'est-à-dire que, pour tout couple (A, B) d'objets, l'application de Hom(A, B) dans Hom(F(A), F(B)) est un homomorphisme de groupes abéliens. Dualement, F est exact à droite, s'il transforme conoyaux en conoyaux, et F est exact s'il est exact à droite et à gauche. Il transforme alors toute suite exacte en suite exacte. Une sous-catégorie exacte C′ d'une catégorie abélienne C est une sous-catégorie abélienne telle que le foncteur d'inclusion est exact.
Les catégories abéliennes types sont les catégories ModA, de modules à gauche sur un anneau A : Mit […]
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