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CATÉGORIES & FONCTEURS

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3.  Propriétés des foncteurs

Soit C une catégorie ; le foncteur Hom de C* × C dans Ens détermine un foncteur H0 de C dans Fonct(C*, Ens) = ̂C qui associe à tout objet A le foncteur :

Si F est un foncteur de C* dans Ens, toute transformation naturelle ϕ : HA → F détermine un élément σ(ϕ) = ϕ(A) (1A) de F(A). Inversement, tout élément x de F(A) détermine une transformation naturelle τ(x) : HA → F qui associe à tout objet X l'application :

définie par : τ(x) (X) (f ) = F(f ) (x), pour f ∈ Hom(X, A). Les applications
sont des bijections inverses l'une de l'autre qui permettent d'identifier l'ensemble Hom(HA, F) des transformations naturelles de HA dans F et l'ensemble F(A). En particulier, si on prend pour F un foncteur HB, l'application de
dans Hom(HA, HB), induite par H, est bijective, c'est-à-dire que H est pleinement fidèle, et identifie C à une sous-catégorie pleine de Fonct(C*, Ens.).

•  Foncteurs représentables

Ce résultat, dû à Yoneda, suggère les deux questions suivantes :

– Peut-on remplacer C* par une catégorie plus petite ? Des réponses affirmatives sont données par exemple dans le cas des catégories algébriques.

– Peut-on caractériser l'« image » de H, c'est-à-dire reconnaître quand un foncteur F de C* dans Ens est de la forme HA, ou même représentable, c'est-à-dire isomorphe à un foncteur HA ?  Un exemple impor […]

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