2. Transformations naturelles
Soit C et C′ deux catégories, et F et G deux foncteurs de C dans C′ ; on appelle transformation naturelle de F dans G, et on note ϕ : F → G, une application ϕ de Ob(C) dans Fl(C′) vérifiant :
(N.1) pour tout objet A de C
(N.2) pour toute flèche f : A → B de C, on a :
Tous les isomorphismes ou homomorphismes « canoniques », si fréquents en mathématiques, sont des transformations naturelles : c'est précisément pour formaliser cette « naturalité » que les catégories furent créées.
Si H est un troisième foncteur de C dans C′ et ψ : G → H une transformation naturelle, en associant à tout objet A de C la flèche ψ(A)ϕ(A) : F(A) → H(A) on obtient la transformation naturelle ψϕ composée de ψ et ϕ. D'où la catégorie Fonct(C, C′) ayant pour objets les foncteurs de C dans C′ et pour flèches les transformations naturelles. Les catégories de foncteurs jouent un rôle essentiel ; en effet, beaucoup de propriétés des foncteurs ou transformations naturelles s'expriment simplement en tant que propriétés d'objets ou de flèches d'une catégorie de foncteurs ; par exemple, une transformation naturelle ϕ : F → G est une équivalence naturelle (i.e. pour tout objet A de C, ϕ(A) est un isomorphisme), si ϕ est un isomorphisme dans Fonct(C, C′). En outre, les catégories les plus importantes (faisceaux, ensembles simpliciaux, catégories algébriques, etc.) apparaissent comme sous-catégories, en général pleines, de catégories de la forme Fonct(C, Ens) ou Fonct(C, Ab) où C est une petite catégorie (i.e. telle que Ob(C) et Fl(C) sont des ensembles). Enfin, si C, C′ et D sont des catégories et F un foncteur de C × C′ dans D, tout objet A de C détermine un foncteur F(A, -) de C′ dans D qui associe à tout objet A′ de C′ l'objet F(A, -) (A′) = F(A, A′) de D et à toute flèche f ′ : A′ → B′ de C′ la flèche
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