Introduite en 1945 par Eilenberg et MacLane pour rendre compte de propriétés très générales des structures mathématiques, la théorie des catégories a quelque peu pâti, à ses débuts, de cette généralité qui lui valut auprès des « mathématiciens sérieux » l'appellation de « Abstract Nonsense ». Dès 1952 cependant, en définissant les théories de l'homologie comme foncteurs d'une catégorie d'espaces topologiques dans une catégorie algébrique vérifiant certains axiomes et en classifiant ces théories, Eilenberg et Steenrod mettaient en évidence le rôle des catégories comme outil pour la topologie algébrique. Ce rôle était encore accentué par l'axiomatisation par Kan des groupes d'homotopie et par les travaux de Eckmann et Hilton sur la dualité en homotopie. Il devenait essentiel dans les théories algébriques de l'homotopie d'où la topologie disparaissait, sauf en tant qu'exemple.
La possibilité, remarquée par Buchsbaum, d'étendre aux catégories abéliennes les techniques de l'algèbre homologique développées par Cartan et Eilenberg et l'utilisation par Grothendieck de catégories de faisceaux pour la géométrie algébrique furent à l'origine de nombreux travaux sur les catégories abéliennes.
Dans l'étude des structures qui lui avait donné naissance, la théorie des catégories s'est révélée fondamentale. L'introduction par Kan, en 1958, de la notion de foncteurs adjoints fournit un cadre précis pour l'étude des problèmes universels. La définition des théories algébriques comme des petites catégories vérifiant certains axiomes apportait sur l'algèbre une vue nouvelle et féconde.
1. Notions générales
• Catégories
Une catégorie C est constituée par la donnée de :
a) une classe Ob(C) d'objets et une classe Fl(C) de flèches ;
b) deux applications s et b de Fl(C) dans Ob(C) (pour tout couple (A, B) d'objets, on note Hom(A, B) la classe des flèches f de source s(f ) = A et de but b(f ) = B ; si f ∈ Hom(A, B), on écrit f : A → B ou A →f B) ;
c) une application qui associe à tout couple (g, f ) de flèches composables, i.e. telles que s(g) = b(f ), une flèche […]
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