4. L'unité des mathématiques
Gauss nous est aussi particulièrement proche par le sentiment profond de l'unité des mathématiques qui se dégage de son œuvre. Assurément, on trouve bien avant Gauss des manifestations fort nettes de l'idée que la classification des sciences mathématiques suivant leur objet apparent est un point de vue superficiel, la plus évidente de ces manifestations étant la création de la géométrie analytique ; mais cette tendance unitaire trouve chez Gauss de nouvelles expressions tout à fait originales. Son esprit universel ne pouvait aborder une théorie sans qu'il n'y découvrît des liens (parfois fort cachés) avec des parties toutes différentes des mathématiques ; ce qui est particulièrement frappant quand on le voit par exemple tirer de son intarissable imagination quatre démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre et jusqu'à sept de la loi de réciprocité, s'appuyant toutes sur des principes différents.
Une des idées les plus fécondes dans ce domaine est la représentation géométrique des imaginaires, à laquelle Gauss était parvenu (indépendamment de Wessel et Argand) dès sa dix-neuvième année. Il est caractéristique de son tempérament qu'il n'y ait pas un mot de cette représentation dans sa thèse (consacrée à sa première démonstration du théorème fondamental de l'algèbre), mais pour nous il est clair qu'elle s'y inscrit comme en filigrane, toute la méthode se fondant sur des considérations de topologie du plan. C'est seulement en 1831 qu'il se hasarda pour la première fois à donner explicitement une définition des nombres complexes par cette méthode ; cependant, dans ses papiers non publiés de son vivant, on constate que, dès le début du siècle, il maniait ces idées avec tant d'aisance qu'il pouvait inversement tirer du calcul sur les nombres complexes des démonstrations de géométrie ; il avait ainsi reconnu, en particulier, le lien (redécouvert plus tard par Klein) entre les rotations de sphère et les transformations homographiques :
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