2. La rigueur
Non seulement Gauss nous apparaît tout proche de la pensée moderne par son sens profond des « structures » cachées sous les phénomènes mathématiques et de leur caractère général, mais c'est lui aussi qui le premier insiste avec vigueur sur la nécessité de démonstrations absolument rigoureuses, sans recours à de plus ou moins fallacieuses « intuitions » (exigence d'ailleurs tout à fait naturelle dès que précisément les notions de base deviennent plus abstraites). Beaucoup de ses efforts les plus acharnés visent à fournir des démonstrations irréprochables pour des théorèmes énoncés par ses prédécesseurs mais ne s'appuyant que sur des raisonnements vagues ou incomplets : deux exemples célèbres sont le théorème fondamental de l'algèbre, qu'avaient cherché à démontrer entre autres d'Alembert, Euler et Lagrange, et la loi de réciprocité quadratique de Legendre, dont ce dernier n'était jamais parvenu à donner une preuve complète. Mais c'est surtout en analyse que le besoin d'une réforme se faisait sentir. Sous l'influence des Bernoulli et d'Euler, les mathématiciens du xviiie siècle avaient totalement négligé d'asseoir sur des bases solides leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n'hésitaient pas à calculer sur des séries divergentes, ils obtenaient d'ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument pas être comprises à cette époque), et cela ne laissait pas de les encourager à persévérer dans leurs erreurs. Ici encore, Gauss est le précurseur du retour à la rigueur, qui se manifestera dans toute sa force chez ses successeurs immédiats, notamment Cauchy et Abel ; ainsi, ayant rencontré au cours de ses recherches la série hypergéométrique :
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