CARDINAL, mathématiques

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  CANTOR GEORG (1845-1918)

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La rupture avec les mathématiques traditionnelles"  : … un et se fondent dans le concept de nombre entier fini. » Pour Cantor, « la puissance ou nombre *cardinal d'un ensemble est le concept universel ou générique que l'on obtient en faisant abstraction pour l'ensemble aussi bien de la constitution de ses éléments que de toutes les relations que ces éléments ont entre eux ou avec d'autres choses,… Lire la suite

2.  COMBINATOIRE ANALYSE

Écrit par : Dominique FOATA

Dans le chapitre "Dénombrements élémentaires"  : … L'entier n qui apparaît dans une numérotation d'un ensemble fini X s'appelle le *cardinal de X ou le nombre d'éléments de X et se note |X|. Cet entier ne dépend pas en effet de la numérotation choisie. On convient que |∅| = 0. On obtient alors : – Formule de la somme : Si X et Y sont deux ensembles finis,… Lire la suite

3.  CONTINU HYPOTHÈSE DU

Écrit par : Patrick DEHORNOY

Dans le chapitre "Les fragments Hk"  : … de cardinal moindre que ℵk, le k-ième cardinal infini de Cantor. *Rappelons que le cardinal d'un ensemble est le nombre de ses éléments : dans le cas des ensembles finis, c'est un nombre entier naturel ; dans le cas des ensembles infinis, Cantor a construit des objets jouant le même rôle, appelés nombres transfinis… Lire la suite

4.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

Dans le chapitre "Les cardinaux et l'axiome du choix"  : … de la théorie des cardinaux. Ce sujet étant assez technique, nous préférons introduire maintenant *l'axiome du choix.

(9) Pour tout ensemble x il existe une application de l'ensemble des parties non vides de x dans x qui à tout élément z de P(x) − {∅} associe un élément h(z) de z. … Lire la suite

5.  FREGE GOTTLOB (1848-1925)

Écrit par : Claude IMBERT

Dans le chapitre "Définition du nombre cardinal"  : …  ». De plus, on identifie un nombre si on peut l'égaler à un autre nombre déjà connu. Enfin, deux *nombres cardinaux seront dits égaux si l'on sait établir une correspondance biunivoque entre les individus tombant sous le concept auquel appartient le premier nombre et ceux tombant sous le concept auquel appartient le second nombre. On dira, par… Lire la suite

6.  INFINI, mathématiques

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "La puissance d'un ensemble"  : … une application biunivoque. Le concept de puissance conduit tout naturellement au concept de nombre *cardinal, défini comme classe d'équivalence engendrée dans le champ des ensembles de points par l'application biunivoque. Le pas décisif s'accomplit ici dès le moment où Cantor isole la notion du «  dénombrable ». Non seulement l'ensemble des entiers… Lire la suite

7.  MODÈLES THÉORIE DES

Écrit par : Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH

Dans le chapitre "Les théorèmes de Löwenheim-Skolem"  : … un peu plus général. Soit b un modèle infini d'une théorie T dans un langage dénombrable, Κ un *cardinal infini inférieur au cardinal |B| de l'univers de b. Il existe une sous-structure a de b qui est modèle de T et dont l'univers est de cardinal K. Montrons-le dans un cas particulier (mais caractéristique), où T est la théorie d'un corps… Lire la suite

8.  NUMÉRATION

Écrit par : Josette ADDA

Dans le chapitre "Cardinaux"  : … la « collection de tous les ensembles », de même que l'appartenance ou l'égalité des ensembles. Les *cardinaux peuvent être considérés comme les « classes d'équivalence » déterminées par cette « pseudo-relation » sur la collection de tous les ensembles : les ensembles d'une même classe ont donc en commun la propriété d'avoir « même cardinal… Lire la suite