SYMBOLIQUE CALCUL

5.  Transformation en z

Soit a une suite réelle ou complexe définie sur l'ensemble N des entiers positifs ou nuls. On appelle transformée en z de cette suite la fonction de variable complexe :

Il existe R ∈ [0, + ∞] tel que cette série soit absolument convergente pour |z| > R. Le produit de composition c = a _* b de deux suites a et b sur N est défini par :

et les transformées en z de a, b, c sont liées par la relation C(z) = A(z)B(z). En particulier, l'opérateur dit opérateur d'avancement E, qui associe à toute suite a la suite Ea telle que Ea(n) = a(n − 1), est un opérateur de convolution :où δ_k est la suite égale à 1 pour n = k et nulle ailleurs.

En posant b = Ea, on a la relation entre les transformées en z de a et b :

 

Le tableau donne quelques transformées en z de suites simples. L'utilisation pratique de la transformation en z suppose de disposer de tables beaucoup plus importantes.

L'usage de la transformation en z permet la résolution des équations de récurrence linéaires à coefficients constants et plus généralement des équations de convolution sur N. Pour l'inversion de la transformation en z, on utilise généralement l'intégration dans le plan complexe. La transformation en z est largement utilisée pour l'étude des systèmes asservis à temps discret (souvent dénommés « échantillonés »).

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