2. Transformation de Laplace des distributions
Soit T une distribution à support positif telle que T = Dkf, où f est une fonction pour laquelle Lf a une abscisse de convergence absolue ξ0 ≠ + ∞. On posera :
On montre aisément la cohérence de cette définition et la compatibilité avec les définitions antérieures. On obtient en particulier Lδ(k)(p) = pk. La généralisation aux distributions possédant la propriété indiquée des règles obtenues pour les fonctions et les mesures est aisée et donne les résultats suivants :
a) La transformée de Laplace d'une distribution T est holomorphe dans un demi-plan Re p > α, et l'on a :
b) On a :
c) On a :
Le tableau donne les transformées de Laplace les plus usuelles.
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