SYMBOLIQUE CALCUL

Le calcul symbolique est né au xix^e siècle d'une succession de démarches heuristiques et il a été particulièrement développé par Heaviside pour l'étude des circuits électriques.

Si l'on désigne par p la dérivation, p² désignera naturellement la double dérivation, 1/p l'intégration (encore faut-il choisir convenablement la « constante d'intégration »). L'opérateur qui à la fonction f (t) fait correspondre la fonction f (t − a) pourra, compte tenu de la formule de Taylor (cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable, chap. 3), être représenté par e^-ap. En fait tous les opérateurs représentés ainsi symboliquement ont la propriété de permuter avec les translations dans le temps. Physiquement, cela signifie que ces opérateurs sont liés à des organes linéaires invariants dans le temps : si on décale dans le temps l'action exercée sur un tel organe, sa réponse subit le même décalage. Dans la terminologie moderne, ce sont des opérateurs de convolution. Par exemple, la dérivation est la convolution par la dérivée de la mesure de Dirac.

Le calcul symbolique a été justifié sur le plan théorique grâce à l'utilisation de la transformation de Laplace. Celle-ci associe à une fonction à support positif une fonction d'une variable complexe p. Un opérateur de convolution se transforme en un opérateur de multiplication par une fonction F de la variable complexe p. Enfin, grâce à la théorie des distributions, cette fonction F peut elle-même être considérée comme la transformée de Laplace de l'élément par lequel se fait la convolution. La transformation de Laplace opérant sur des éléments (fonctions ou distributions) à support positif, c'est à l'étude des régimes transitoires que le calcul symbolique est utilisé. Pour les systèmes à temps discret, une forme analogue de calcul symbolique a été développée sous le nom de transformation en z. Parmi les aspects qui ne pourront pas être traités ici, citons l'application aux systèmes différentiels à coefficients variables, l'application à la […]