7. Approximation des fonctions
Le problème consiste à approcher une fonction f sur un intervalle [a, b] par des fonctions se prêtant mieux au calcul.
Au xviie siècle, on a utilisé l'interpolation par des polynômes de petit degré. Avec Newton et Leibniz apparaît l'emploi de développements en série entière. L'optimisation de telles approximations a fait l'objet de nombreux travaux : méthode des moindres carrés (Legendre, 1805, et Gauss, 1809), développement en série de polynômes de Tchebychev, théorie de la meilleure approximation uniforme (Bernstein et La Vallée-Poussin).
Un autre courant s'est développé à partir des travaux de Fourier (1768-1830), engagés dès 1807, et exposés dans la Théorie analytique de la chaleur (1822). Fourier approche les fonctions périodiques par des polynômes trigonométriques. Ces travaux ont conduit à l'étude de la meilleure approximation en moyenne quadratique et des développements en séries de fonctions orthogonales.
Paradoxalement, ce sont les problèmes de calcul numérique concernant les cordes vibrantes et la propagation de la chaleur qui ont amené à élargir le champ des fonctions. Les travaux de Dirichlet (1829) et de Riemann (1854) sur l'intégration et sur les séries trigonométriques, et même ceux de Cantor sur les ensembles de points (1871) y puisent leur origine.
Bien d'autres secteurs mathématiques mettent en jeu de manière essentielle le calcul numérique. Citons par exemple la résolution des systèmes linéaires, l'inversion des matrices, la recherche des vecteurs propres et des valeurs propres, la résolution des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, l'optimisation.
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