6. Nombres attachés à une fonction
Le calcul approché des dérivées par utilisation des différences finies est élaboré par Newton et Euler.
Pour le calcul approché de l'intégrale I d'une fonction f sur un intervalle [a, b], la méthode consiste à introduire une subdivision (a0, a1, ..., ap) de [a, b] et à remplacer, sur chaque intervalle [aj, aj+1], la fonction f par un polynôme interpolateur de degré n. Posons α = aj et β = aj+1,.
– Le cas où n = 1 (déjà employé par l'école d'Alexandrie sur des exemples d'exhaustion) est connu sous le nom de méthode des trapèzes. Cela revient à écrire :
– Le cas où n = 2 est connu sous le nom de méthode de Simpson (1743), mais il apparaît déjà chez Cavalieri en 1639. Cela revient à écrire (formule des trois niveaux) :
– Le cas où n = 3 est utilisé par Newton. Cela revient à écrire :
– Le cas général a été étudié par Newton et Cotes (1682-1716).
Une méthode plus élaborée est mise au point par Euler ; elle s'appuie sur la formule d'Euler-Maclaurin. La méthode de Gauss (1814) consiste à optimiser l'erreur commise sur :
Il convient de souligner que, dans ces dernières méthodes, les concepts fondamentaux de l'analyse, en particulier l'intégration par parties, prennent le relais de l'intuition géométrique, laquelle inspirait les méthodes élémentaires.
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